The Italian Peace Flag Research / Attività di Ricerca The Italian Peace Flag

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In case you are wondering, my Erdős number is 3, via the joint paper [A3] with Alberto Perelli, whose Erdős number is 2. His coauthors with Erdős number 1 are listed in the website above. I have another link of length 3 via the joint paper [A15] with János Pintz.

Gaps between primes in progressions

In my M. Sc. thesis (“Tesi di Laurea” in Italian) [D1] I studied the problem of determining large gaps between consecutive prime numbers in arithmetic progressions. The Prime Number Theorem (PNT) in the form

(1) π(x) ∼ x / log x,

suggests that the n–th prime number pn be roughly n log n, and therefore that the average distance between two consecutive primes pn and pn+1 be about log pn. The heuristics lead to the conjecture that, setting

G(x) := max { pn+1 − pn : pnx },

then G(x) is of the order of magnitude (log x) 2 . The best result to date is

(2) G(x) ≥ ( c + o(1) ) log x log log x log log log log x ( log log log x )−2.

for some positive constant c. In my Tesi di Laurea I described Maier & Pomerance's method that allowed them to obtain (2) with c = 1.3 eC (where C is Euler's constant) in the case of the sequence of all prime numbers. I also generalized a result of Rankin to arithmetic progressions. A further strengthening of the latter result can be found in the paper [A1]. More precisely, for any positive integer q and for any a in Z with (a,q) = 1, we set

G( x ; q , a ) := max { pn+1 − pn: pnx, pn ≡ pn+1 ≡ a mod q },

where pn and pn+1 are consecutive primes in the arithmetic progression a mod q. Now let ω(q) be the number of distinct prime factors of q and let

φ(q) := | { nN: 1 ≤ n ≤ q, (n,q)=1 } |

be Euler's totient function. In the paper [A1] I proved that for any fixed A ∈ (0,1), uniformly for all q such that

ω(q) ≤ exp { A log log x log log log log x (log log log x) −1}

we have

G( qx ; q , a ) ≥ ( eC + oA(1) ) φ(q) log x log log x log log log log x ( log log log x ) −2 .

The factor φ(q) is due to the fact that only about one prime out of φ(q) lies in the arithmetic progression a mod q.

Hardy & Littlewood's conjectures

During my graduate studies I tackled a conjecture of Hardy & Littlewood (Conjectures H and L in their Partitio Numerorum III paper of 1922): is it true that every sufficiently large integer n can be represented as a sum of a prime number and a k–th power, where k > 1 is a fixed integer? Hardy & Littlewood conjectured an asymptotic formula for

r k (n) := | { (m,p) : n = m k + p, p prime } |,

where k=2 or 3 is fixed, and n tends to infinity and is not a k–th power itself.
The Prime Number Theorem (1) and the distribution of k–th powers in residue classes led Hardy & Littlewood to state their conjecture in the form

(3) r k (n) ∼ n 1/k (log n) −1 p ( p − ρk(p,n)) / ( p − 1 )

where ρk (p,n) := |{ h mod p: h kn mod p}|, when n tends to infinity and is not a k–th power.
The infinite product is taken over all prime numbers in increasing order, and is convergent (though not absolutely) if n is not a perfect power. If n is a perfect d–th power for some divisor d of k (with d > 1, of course), the infinite product diverges to 0.
It is a classical additive problem, analogous to the famous Goldbach Conjecture: the main difficulty lies in the fact that in the latter problem one want to represent every large even number as a sum of two primes, while in the Hardy & Littlewood Conjectures one of the summands is replaced by a k–th power. The Prime Number Theorem (1) implies that prime numbers are extremely more numerous than powers, and this leads to several technical difficulties in this problem: for more details, see section 3 in the paper [A4]. I simply quote the fact that in Goldbach's problem the infinite product corresponding to the one in (3) is absolutely convergent and is, therefore, comparatively easy to estimate satisfactorily.

The same heuristic argument of Hardy & Littlewood leads, more generally, to conjecture that the asymptotic formula (3) holds for any fixed k > 1, when n tends to infinity and does not belong to the set Red(k), where

Red(k) := { nN * : the polynomial x k n is reducible over Q }.

This is the set of natural exceptions to the conjecture (corresponding to the odd integers in Goldbach's problem): if n were a square, say n = a2 and n were representable as a sum of a square and a prime, n = p + m2, say, then p = a2 − m2, so that p splits. This may happen, as in the case of n = 36 = 11 + 25, but it is actually easy to see that if n belongs to Red(k), then rk(n) is either 0 or 1 (see the Appendix in [A4]).

In my Doctoral Dissertation [D2] and in the papers [A2], [A3], [A4] I obtained results on the number of exceptions to the Hardy & Littlewood Conjecture: for k > 1 let

Ek(X) := | { n ≤ X : rk(n) = 0 } |

denote the number of exceptions to the weak conjecture that rk(n) > 0 for sufficiently large n, not belonging to the set Red(k). I proved that for k > 2 there exists δ = δ(k) > 0 such that

Ek(X) = O(X1 − δ),

that

Ek(X+H) − Ek(X) = O(H ( log X )−A) for X7/12 (k−1)/k + ε ≤ H ≤ X,

and estimates for the number of integer whose number of representations satisfies the asymptotic formula (3). I also obtained explicit unconditional estimates for δ(k), and also conditional ones, assuming the truth of the Generalized Riemann Conjecture. Some of these results have been obtained in cooperation with my advisor, Alberto Perelli. There are also some more results: I considered the case of a polynomial summand in [A9] and also the computation of explicit unconditional bounds for δ(k) (preprint [P2]).

More detailed informations can be found in the papers quoted above, and in particular in [A4].

Other results on these problems are the joint paper [A15], with Alessandro Languasco and János Pintz on a variant of the Goldbach problem with primes and powers of 2, and the joint paper [A17] with Alessandro Languasco on the average for the main term in the Hardy–Littlewood problem.

The Selberg integral

I also studied the Selberg integral J(X,h) defined below: it is a tool which allows one to obtain good informations also in additive problems like the one described above. The Prime Number Theorem (1) suggests that if h ≤ x is not too small, then

(4) π(x) − π(x−h) ∼ h / log x.

For technical reasons (infra) the results are often expressed in terms of the Chebyshev ψ function, defined by

ψ(x) := ∑ n ≤ x Λ(n),
Λ(n) := log p if n = pm for some prime number p, and some mN *
Λ(n) := 0 otherwise

These are the coefficients in the Dirichlet series expansion of the function −ζ' / ζ where ζ is the Riemann zeta function. If x is not a positive integer, we have the equivalent relations

ψ(x) = (2 π i)−1(c) −ζ' / ζ(s) xs s−1 ds   and   −ζ' / ζ(s) = s ∫1+∞ ψ(x) x−s−1 dx

where c > 1 and ∫(c) denotes the integral over the vertical line of the complex numbers with real part c. There is no simple relation between the functions π(x) and ζ, and this is the reason why the function ψ comes into play. It is not difficult to prove that ψ(x) ∼ π(x) log x, so that the Prime Number Theorem can be stated in the form ψ(x) ∼ x, and the statement corresponding to (4) is the conjecture ψ(x) − ψ(x−h) ∼ h. I gave an alternative proof of the classical Ingham–Huxley result that

(5) J(x,h) := ∫x2x | ψ(t) − ψ(t−h) − h |2 dt = o (x h2)

when h ≥ x1/6 + ε by means of an identity exploited by Heath–Brown [A5]; the relation (5), therefore, allows one to say that, in L2 norm, the difference ψ(x) − ψ(x−h) is close to the expected value h.

Afterwards, I proved that J(x,h) = o(x h2) also in the range h ≥ x1/6 − ε(x), provided that ε(x) be positive and vanishing as x tends to infinity. [A6]. More precisely, we have

J(x,h) = O(x h2 (ε(x) + log log x (log x)−1)2).

Two key ingredients in the proof are density results and zero–free regions for the Riemann zeta function.

The results are also summarized in [A12].

Conditional density theorems

I also studied the consequences of explicit upper bounds for J(x,h), in term of Density Theorems amd zero–free regions for the Riemann zeta function (see [A8]). This paper contains various results in this direction: skipping some details, we can say that every non trivial upper bound for J(x,h), uniform in a suitably large range for h, corresponds, in a precise and quantitatively satisfying fashion, to a zero–free region for the Riemann zeta function. If the upper bound is sharp enough, we also get a density bound.

We quote one of the Corollaries, just to give an idea of the type of results: assume that

J(x,h) = O(x h2 / F(h))

uniformly for x1−β ≤ h ≤ x, where F is a positive, increasing function, which is unbounded ad x grows to infinity, such that

F(x) = O(xε) for every ε > 0,

and that β is a real number in the interval (0,1). Then the Riemann zeta function has no zeros in the region

σ ≥ 1 − C (log F(t)) / (log t)

where C is a suitable positive constant.

The results are also summarized in [A12].

I started studying the Selberg Class, an important class of Dirichlet series whose best known member is the Riemann zeta function.

The Mertens theorem for arithmetic progressions

In a series of joint papers with Alessandro Languasco ([A14], [A18]) we studied several properties of the Mertens product over primes in arithmetic progressions. It is well known that
p ≤ x (1 − p−1) ∼ e−γ / (log x)
as x tends to infinity. Let P(x; q, a) denote
P(x; q, a) = ∏p ≤ x, p ≡ a mod q (1 − p−1)
where q ≥ 1 and a are integers such that (q, a) = 1. We improved previous results on the asymptotic formula for P(x; q, a) giving uniform bounds for the error term, and a simpler formula for the constant C(q, a) that appears in the asymptotic formula itself.
Two more papers ([A20] and [A22]) deal with the generalization of known identities satisfied by the constant C(q, a), and with their numerical computation to 100 decimal digits, respectively. Details of the computations, the full program and its output are available from here.

Automatic solution of recurrence relations

I recently begun a cooperation with Roberto Bagnara and other Computer Scientists in my Department: we want to build a Computer Algebra System (to be called purrs, which stands for the Parma University Recurrence Relations Solver), which should solve automatically difference equations and other recurrences, giving a closed formula for the solution whenever possible, and good estimates (both upper and lower bounds) for its asymptotic behaviour. More precisely, our aim is to express the solution of the recurrence in terms of known “simple” functions (polynomials, exponentials, rational functions, elementary trigonometric functions, hypergeometric functions, other transcendental functions) or possibly as partial sums of the series defining one of the functions above. The system will provide explicit upper and lower bounds for the solution. Most of the existing system are interactive, and need a human operator to guide the computation. We emphasize the fact that we intend to produce a completely automated system.
This project has interactive demos and updated documentation at the address purrs.

Other research stuff

In the last few weeks I began cooperating in the role of “consultant” with the Computer Scientists mentioned above, for their Parma Polyhedra Library.

Elementary talks and papers

I have been asked to give some elementary talks: strictly speaking, these do not belong to my research activity, but themes and motivations are closely connected to my interests. That is why you find the link to the list ok my talks. Some of them have appeared in print: one on the Goldbach problem [A7], one on a link between an arithmetic problem and geometry [A10], one on primes and cryptography [A11], one on the computation of approximations to π [A13], one on the use of hand–held non–programmable computers [A16]. The printed versions are in Italian.

Follow this link for the complete list of my papers, which includes some that appear only on the web.


Intervalli fra primi consecutivi

Nella Tesi di Laurea [D1] ho affrontato il problema di determinare grandi intervalli fra primi consecutivi nelle progressioni aritmetiche. Il Teorema dei Numeri Primi nella forma

(1) π(x) ∼ x / log x,

suggerisce che l'n–esimo numero primo pn debba essere approssimativamente uguale ad n log n e quindi che la distanza media fra due numeri primi consecutivi pn e pn+1 sia circa log pn. Varie argomentazioni euristiche portano a ritenere che, posto

G(x) := max { pn+1 − pn: pn ≤ x },

la funzione G(x) debba essere dell'ordine di grandezza (log x) 2 . Il miglior risultato noto oggi è

(2) G(x) ≥ (c + o(1)) log x log log x log log log log x (log log log x)−2.

Nella Tesi di Laurea ho descritto il metodo usato da Maier & Pomerance che hanno ottenuto la (2) con c=1.3 eC (dove C è la costante di Eulero) nel caso della successione naturale dei primi, e generalizzato un risultato di Rankin alle progressioni aritmetiche. Un ulteriore rafforzamento di quest'ultimo si trova nell'articolo indicato con la sigla [A1]. Piú precisamente, per q naturale diverso da zero e per a appartenente a Z con (a,q) = 1, poniamo

G(x ; q , a) := max { pn+1 − pn : pn ≤ x, pn ≡ pn+1 ≡ a mod q },

dove pn e n+1 sono numeri primi consecutivi nella progressione aritmetica a mod q. Inoltre, sia ω(q) il numero dei fattori primi distinti di q. Nell'articolo [A1] si dimostra che fissato C nell'intervallo (0,1), allora, uniformemente per tutti i q tali che

ω(q) ≤ exp { C log log x log log log log x (log log log x) −1}

e posto φ(q) := | { nN: 1 ≤ n ≤ q, (n,q)=1 } |, si ha

G(qx ; q , a) ≥ (eγ + oC (1)) φ(q) log x log log x log log log log x (log log log x) −2 .

Il fattore φ(q) è dovuto al fatto che solo approssimativamente un primo ogni φ(q) è nella progressione aritmetica a mod q.

Le congetture di Hardy & Littlewood

Negli anni successivi ho studiato una congettura di Hardy & Littlewood (1922) relativa alla possibilità di rappresentare ogni intero n sufficientemente grande come somma di un numero primo e di una k–esima potenza, dove k > 1 è un intero fissato. Hardy & Littlewood congetturano una formula asintotica per

r k (n) := | { (m,p) : n = m k + p, p primo } |,

per k = 2, 3 ed è fissato, per n che tende ad infinito senza essere una k–esima potenza perfetta. Basandosi sul Teorema dei Numeri Primi (1) e sulla distribuzione delle k–esime potenze nelle classi di resto, la loro congettura prende la forma

(3) r k (n) ∼ n 1/k (log n) −1 p (p − ρk(p,n)) / (p − 1)

dove ρk (p,n) := |{ h mod p: h k n mod p}| quando n tende ad infinito, senza essere una k–esima potenza perfetta.
Il prodotto infinito è fatto su tutti i numeri primi in ordine crescente, e risulta convergente (ma non assolutamente) se n non è una k–esima potenza perfetta. Se n è una d–esima potenza per qualche divisore d di k (con d > 1, naturalmente), il prodotto infinito diverge a 0.
Si tratta di un problema additivo classico analogo alla congettura di Goldbach: la difficoltà principale risiede nel fatto che in quest'ultimo problema si cerca di rappresentare ogni numero pari come somma di due primi, mentre nella congettura di Hardy & Littlewood si sostituisce un addendo con una k–esima potenza. Per il Teorema dei Numeri Primi (1), i numeri primi sono estremamente piú numerosi delle potenze, e questo provoca, nel problema che ho affrontato, numerose difficoltà tecniche: per maggiori dettagli si veda il paragrafo 3 del lavoro [A4]. Fra queste possiamo citare il fatto che nel problema di Goldbach il prodotto corrispondente a quello nella (3) risulta assolutamente convergente ed è quindi relativamente semplice darne una stima.

La stessa argomentazione euristica di Hardy & Littlewood porta, piú in generale, a congetturare che la formula asintotica (3) valga qualunque sia k > 1 fissato, quando n tende ad infinito ed n non appartiene a Rid(k), dove

Rid(k) := { n ∈ N * : il polinomio x kn è riducibile su Q}.

Nella tesi di Dottorato [D2] e nei lavori indicati piú in basso ([A2], [A3], [A4]) ho ottenuto risultati sul numero di eccezioni alla congettura di Hardy & Littlewood: per k > 1 sia E k (X) := | { n ≤ X : r k (n) = 0 } | il numero di eccezioni alla congettura debole che r k (n) > 0 per n sufficientemente grande che non appartiene a Rid(k). Ho dimostrato che per k > 2 esiste δ = δ(k) > 0 tale che

E k (X) = O(X 1 − δ ),

che

E k (X+H) − E k (X) = O(H (log X) − A )

per

X 7/12 (k−1)/k + ε ≤ H ≤ X,

e ho ottenuto stime per il numero di interi per cui vale la formula asintotica. Inoltre ho ottenuto stime esplicite incondizionali per δ(k), ed anche stime condizionali, supponendo la validità dell'Ipotesi Generalizzata di Riemann. Parte di questi risultati sono stati ottenuti in collaborazione con A. Perelli. Queste ricerche non sono ancora concluse: si vedano i risultati relativi al caso polinomiale [A9] ed alla determinazione esplicita ed incondizionale di δ(k) (preprint [P2]. Inoltre ho recentemente cominciato a studiare il problema della determinazione di maggiorazioni per la distanza fra interi consecutivi che sono rappresentabili come somma di un numero primo e di una k–esima potenza.

Una descrizione piú dettagliata e piú precisa dei risultati con discussione degli stessi si trova nell'introduzione della Tesi citata [D2] e nell'articolo [A4].

Altri risultati su questi problemi sono l'articolo [A15] con Alessandro Languasco and János Pintz su una variante del problema di Goldbach con primi e ptenze di 2, e l'articolo [A17] con Alessandro Languasco sulla media tel termine principale nel problema di Hardy–Littlewood.

L'integrale di Selberg

Piú recentemente ho rivolto la mia attenzione all'integrale di Selberg J(X,h) definito qui appresso: si tratta di uno strumento di uso comune che permette di ottenere buone informazioni anche in problemi additivi come quello discusso qui sopra, conoscendo stime in media legate alla distribuzione dei numeri primi. Il Teorema dei Numeri Primi (1) suggerisce che se h ≤ x non è troppo piccolo, debba valere una relazione del tipo

(4) π(x) − π(x−h) ∼ h / log x.

Per motivi di natura tecnica (v. infra) spesso si preferisce enunciare i risultati sui numeri primi in termini della funzione ψ di Chebyshev, definita da

ψ(x) := ∑ n ≤ x Λ(n),
Λ(n) := log p se n = pm per qualche numero primo p ed mN *
Λ(n) := 0 altrimenti

Questi sono i coefficienti nello sviluppo in serie di Dirichlet della funzione −ζ' / ζ dove ζ è la funzione zeta di Riemann. Se x non è in N si hanno le relazioni equivalenti

ψ(x) = (2 π i) − 1 (c) −ζ' / ζ(s) x s s −1 ds,

−ζ' / ζ(s) = s ∫ 1 +∞ ψ(x) x − s − 1 dx

dove c > 1 ed ∫ (c) indica l'integrale sulla retta verticale di parte reale c. Non esiste una relazione altrettanto semplice fra le funzioni π(x) e ζ ed è essenzialmente questo il motivo per cui si preferisce introdurre la funzione ψ. Non è difficile dimostrare che ψ(x) ∼ π(x) log x, e quindi il Teorema dei Numeri Primi (1) può essere espresso nella forma ψ(x) ∼ x, e l'analoga della (4) è la congettura ψ(x) − ψ(x−h) ∼ h. Ho ridimostrato il classico risultato di Ingham–Huxley

(5) J(x,h) := ∫x 2x | ψ(t) − ψ(t−h) − h | 2 dt = o (x h 2 )

quando h ≥ x 1/6 + ε per mezzo di una identità di Heath–Brown [A5]; la (5), dunque, permette di dedurre che, in norma L 2 , la differenza ψ(x) − ψ(x−h) è prossima al valore atteso h.

Successivamente ho dimostrato che J(x,h) = o(x h 2 ) anche per h > x 1/6 − ε(x) , purché ε(x) sia positiva e infinitesima quando x tende a infinito [A6]. Piú precisamente, nelle stesse condizioni,

J(x,h) = O(x h 2 (ε(x) + log log x (log x) −1 ) 2 ).

Due ingredienti fondamentali per la dimostrazione sono teoremi di densità e regioni libere da zeri per la funzione zeta di Riemann.

Questi risultati sono riassunti anche in [A12].

Teoremi di densità

Ho poi studiato le conseguenze di maggiorazioni esplicite per J(x,h), in termini di teoremi di densità e di regioni libere da zeri per la funzione zeta di Riemann (vedi [A8]). Questo lavoro contiene vari risultati in tale direzione: senza entrare nei dettagli, si può dire che ad ogni maggiorazione non banale per J(x,h), in un intervallo di valori di h sufficientemente grande, corrisponde, in modo preciso e quantitativamente soddisfacente, una regione libera da zeri per la funzione zeta di Riemann, oppure (se la maggiorazione in questione è sufficientemente forte) un teorema di densità per gli zeri della funzione zeta.

Per dare un'idea del tipo di risultato, si riporta uno dei Corollari: supponiamo che

J(x,h) = O(x h2 / F(h))

uniformemente per x1−β ≤ h ≤ x, dove F è una funzione positiva, crescente ed illimitata per x che tende ad infinito, tale che

F(x) = O(xε) per ogni ε > 0,

e β appartiene all'intervallo (0,1). Allora la funzione zeta di Riemann non ha zeri nella regione

σ > 1 − C (log F(t)) / (log t)

dove C è una certa costante positiva.

Questi risultati sono riassunti anche in [A12].

Ho cominciato a studiare la Classe di Selberg, un'importante classe di serie di Dirichlet di cui la funzione zeta di Riemann è il membro piú noto.

Il teorema di Mertens per le progressioni aritmetiche

In una serie di articoli con Alessandro Languasco ([A14], [A18]) abbiamo studiato diverse proprietà del prodotto di Mertens sui numeri primi nelle progressioni aritmetiche. È ben noto che
p ≤ x (1 − p−1) ∼ e−γ / (log x)
quando x tende all'infinito. Poniamo
P(x; q, a) = ∏p ≤ x, p ≡ a mod q (1 − p−1)
dove q ≥ 1 ed a sono numeri interi tali che (q, a) = 1. Abbiamo migliorato i risultati precedenti sulla formula asintotica per P(x; q, a) dando maggiorazioni uniformi per il termine d'errore, ed una formula piú semplice per la costante C(q, a) che compare nella formula asintotica stessa.
In altri due articoli [A20] e [A22] trattiamo la generalizzazione di identità note soddisfatte dalle costanti C(q, a), e il loro calcolo numerico con 100 cifre decimali, rispettivamente. I dettagli del calcolo, il programma completo ed i suoi risultati sono disponibili da qui.

Soluzione automatica di relazioni di ricorrenza

Recentemente ho cominciato a collaborare con Roberto Bagnara e con altri informatici del Dipartimento di Matematica ad un progetto che prevede la realizzazione di un sistema di algebra al calcolatore che risolve automaticamente equazioni alle differenze ed altre ricorrenze, dando la formula chiusa quando questo è possibile e buone stime per l'andamento asintotico della soluzione in caso contrario. Piú precisamente, si intende esprimere la soluzione della ricorrenza in termini di funzioni note (polinomi, esponenziali, funzioni razionali, funzioni trigonometriche elementari, funzioni ipergeometriche, altre funzioni trascendenti) o eventualmente come somma parziale della serie che definisce qualcuna delle funzioni elencate qui sopra. Il sistema fornirà anche maggiorazioni e minorazioni esplicite per la soluzione. I sistemi già esistenti, per la maggior parte, sono interattivi e richiedono quindi un operatore umano che guida il calcolo. Nel nostro caso, poniamo l'enfasi sul fatto che intendiamo produrre un sistema completamente automatico. Lo stato di avanzamento del progetto è verificabile in tempo reale all'indirizzo purrs, dove è anche disponibile la documentazione aggiornata.

Altra ricerca

Da qualche tempo ho cominciato a collaborare, piú che altro come “consulente”, con gli Informatici menzionati sopra, al progetto chiamato Parma Polyhedra Library.

Divulgazione

Per divertimento personale, ho tenuto qualche conferenza divulgativa: a stretto rigore queste conferenze non fanno parte della mia attività di ricerca, ma i temi e le motivazioni sono intimamente legati ai miei interessi. Ritengo per questo di poter aggiungere il link alla pagina dove si trova una breve descrizione delle conferenze stesse. Alcune di queste sono apparse a stampa: una sul problema di Goldbach [A7], una su una relazione tra un problema aritmetico e la geometria [A10], one sui numeri primi e la crittografia [A11], una sul calcolo di approssimazioni per π [A13], una sull'uso della calcolatrice portatile non programmabile [A16].

Qui potete vedere l'elenco completo delle mie pubblicazioni, che ne include alcune apparse solo su rete.

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© Alessandro Zaccagnini