"GIOCO DI SQUADRA"
PARMA 2001/02 David Hilbert (dalla Piccola Treccani)
Hilbert , DAVID. Matematico (Königsberg 1862 - Gottinga
1943). E la figura più notevole
della matematica della prima metà del Novecento e
forse dell'intero secolo. A Königsberg frequentò l'università
con A. Hurwitz, già professore, e con H. Minkowski, suo
condiscepolo.Dal 1895 al 1929 fu professore all'università di
Gottinga.
Fin dal 1903 socio straniero dei
Lincei. Si può dividere approssimativamente la sua at
tività di ricerca in vari periodi; fino al 1893: studio delle forme
algebriche (teorema della base di H., v. oltre);
1894-99: teoria algebrica dei numeri; 1899-1903: fondamenti
della geometria; 1904-09: tematiche di analisi
(principio di Dirichlet, calcolo delle variazioni,
equazioni integrali, problema di Waring); 1912-16: fisica
teorica e fondamenti della fisica relitivistica; dopo il
1918: fondamenti della matematica. Una conferma
della universalità di interessi di H. è data dal celebre
elenco di 23 problemi fondamentali, su tutto l'arco
della materia, da lui presentati al Congresso di matematica
di Parigi del 1900, il cui Studio e ricerca delle
soluzioni hanno scandito tanta parte della matematica
dei Novecento e non sono ancora conclusi. Come stile
di indagine H. introdusse metodi diretti, in generale
non costruttivi, spesso superando proprio in questo
modo ostacoli fino ad allora insormontabili per altri.
Infatti, secondo H., il valore delle dimostrazioni puramente
esistenziali consiste nel fatto che rendono superflue
le costruzioni dei singoli enti e che costruzioni
estremamente differenti possono essere sintetizzate in
un'unica idea fondamentale. Un discorso a parte merita
l'attività di H. nel campo dei fondamenti della matematica
(postulati di H., v. oltre). L'interesse iniziò con
i Grudlagen der Geometrie (1899), una riorganizzazione
della geometria euclidea che assumeva i concetti
primitivi euclidei di punto, retta e piano, e le relazioni
primitive "essere fra", la congruenza e il parallelismo
come punto di partenza, senza però attribuire loro alcun
significato intuitivo ma solo quello che emerge dal
collegamenti reciproci espressi negli assiomi. Privi di
contenuto intuitivo gli assiomi non sono più "veri" :
devono solo essere non contraddittori e allora si applicheranno
a infiniti sistemi di enti. L'interesse per i
fondamenti si accentuò dopo l'antinomia di Russell e
già in un contributo del 1904 H. sostenne la necessità
di una dimostrazione dietta della coerenza dell'aritmetica
attraverso lo studio delle dimostrazioni viste
come enti a sé. E' questo il nucleo della metamatematica
e del programma hilbertiatio: la necessità di uno
studio dall'esterno delle teorie matematiche per
assicurare la coerenza della mitematica con mezzi sicuri.
H. propose perciò di trasformare le teorie in sistemi
puramente formali di segni (i simboli linguistici in cui
si esprimono le teorie stesse una volta fissata in modo
rigido la morfologia del linguaggio) e di assumere come
"sicure" solo le manipolazioni di tali segni svolte
secondo regole "finitarie" fissate. Dimostrare che una
teoria è coerente vorrà dire dimostrare l'impossibilità
di derivare al suo interno una sequenza di segni e la
sua "negazione" formale. Si potrà, interlocutoriamente,
riportare la coerenza di una teoria a quella di un'altra,
ma in questo processo di rinvio sarà necessaria almeno
una dimostrazione di coerenza "assoluta" per
una teoria specifica: l'aritmeticta appunto a cui, per
gradi successivi, ci si può ridurre. Dopo una notevole
mole di lavoro tecnico in questa direzione, i risultati di
K. Gödel dimostrarono sostanzialmente l'impossibilità
del sogno hilbertiano. Forse H. non ne fu mai
convinto ma una delle sue ultime opere, i monumentali
Grundlagen der Mathematik, contiene la prima e ancor
oggi unica esposizione con tutti i dettagli della
dimostrazione gödeliana che aveva distrutto il suo progetto.
Tra le opere: Ueber die vollen Invariantensysteme
(1892), Grundzüge der theoretischen Logik (con W. Ackermann, 1928
Grundlagen der Mathematik (con P. Bernays,
2 voll., 1934-39). Le sue opere fino al 1935
sono state raccolte in 3 volumi: Gesammelte Abhandlungen
(1932-35). Cubo (o mattone) di H., v. SPAZIO:
Spazio di Hilbert. Postiilati di H.: quando si pensi
la geometria elementare (o euclidea) come un sistema
ipotetico-deduttivo, cioè costruita a partire da un
sistema
di concetti primitivi e di postulati (e così la concepiva
sostanzialmente Euclide stesso), si tratta di stabilire
un sistema (compatibile) dal quale si posso
dedurre, senza ulteriore introduzione di proposizioni
prese dall'intuizione, tutta la geometria elementare.
Un tale sistema fu costruito da H. ed esposto nel trattato
Grundlagen der Geometrie (1899): consiste in un
insieme di nozioni e concetti primitivi come quelli di
"punto", "retta", "piano", "appartenere", "situato
fra", "segmenti uguali", "angoli uguali" e di postulati
che legano tali concetti, nel senso che ne assegnano le
proprietà e quindi li definiscono implicitamente; tali
postuiati sono stati divisi da H. in 5 gruppi: postulati
di appartenenza, di ordinamento, di congruenza, delle
parallele, di continuità (v. GIOMETRIA). Problema di
H.: il problema di determinare quando è trascendente
il numero ab,
, essendo a, b numeri
algebrici (a¹ 0,¹1,
b irrazionale). E' stato risolto da A. 0. Gelfond.
Teorema della base di H.: se A è un anello di Noether
(v. NOETHERIANO) i polinomi in una o più indeterminate
con coefficienti che siano elemeiiti di A costi-
tuiscono a loro volta un anello di Noether.
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